関数解析bot wiki

botの概要

関数解析bot(以下、当bot)は、関数解析の初歩的な問題を2時間に1回出題するbotです。具体的な出題範囲としては、H. Brezis, "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations"のChapter 1からChapter 6程度の内容です。(ここからしか出ないというわけではなく、この内容が全て出るというわけでもない。)

【参考】Brezisの目次 Chapter 1 - 6("+"をクリックして開く)

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The Hahn-Banach Theorems. Introduction to the Theory of Conjugate Convex Functions The Analytic Form of the Hahn-Banach Theorem: Extension of Linear Functionals The Geometric Forms of the Hahn-Banach Theorem: Separation of Convex Sets The Bidual E^**. Orthogonality Relations A Quick Introduction to the Theory of Conjugate Convex Functions The Uniform Boundedness Principle and the Closed Graph Theorem The Baire Category Theorem The Uniform Boundedness Principle The Open Mapping Theorem and the Closed Graph Theorem Complementary Subspaces. Right and Left Invertibility of Linear Operators Orthogonality Revisited An Introduction to Unbounded Linear Operators. Definition of the Adjoint A Characterization of Operators with Closed Range. A Characterization of Surjective Operators Weak Topologies. Reflexive Spaces. Separable Spaces. Uniform Convexity The Coarsest Topology for Which a Collection of Maps Becomes Continuous Definition and Elementary Properties of the Weak Topology σ(E, E^*) Weak Topology, Convex Sets, and Linear Operators The Weak* Topology σ(E^*, E) Reflexive Spaces Separable Spaces Uniformly Convex Spaces L^p Spaces Some Results about Integration That Everyone Must Know Definition and Elementary Properties of L^p Spaces Reflexivity. Separability. Dual of L^p Convolution and Regularization Criterion for Strong Compactness in L^p Hilbert Spaces Definitions and Elementary Properties. Projection onto a Closed Convex Set The Dual Space of a Hilbert Space The Theorems of Stampacchia and Lax-Milgram Hilbert Sums. Orthonormal Bases Compact Operators. Spectral Decomposition of Self-Adjoint Compact Operators Definitions. Elementary Properties. Adjoint The Riesz-Fredholm Theory The Spectrum of a Compact Operator Spectral Decomposition of Self-Adjoint Compact Operators

大まかに言えば、

• Banach空間や線形作用素に関する命題
• BIG3(Hahn-Banachの定理、一様有界性原理、開写像定理)などの大きな定理を用いて示すことのできる命題
• 双対空間や弱位相・汎弱位相に関する命題
• Hilbert空間に関する命題
• L^p空間に関する命題
• コンパクト作用素に関する命題

がメインです。ネタ切れになったらFourier解析やスペクトル理論の問題も入れるかもしれません。

お知らせ

• 問題を募集中です。
• アイコン画像、ヘッダー画像を募集中です。
• 愛称を募集中です。(中の人はエフアナbotと呼んでいる。一部の人はアナリ沢さんと呼んでいる。トポロ沢さん(@gen_top_bot、作者は別人)も参照。)

機能

問題リプライ機能

当botにリプライを送ると、収録された問題の中からランダムに1問出題してリプライします。

ヒント機能

「[n]のヒント」を含むリプライを送った時に限り、n番の問題のヒントをリプライします。ただしこの機能は試験運用中で、一部の問題にしか対応していません。もしヒントが欲しい問題があったら、同様のフォーマットでリプライを送って頂ければ、中の人がこっそり追加するかもしれません。

言葉づかいと表記法について

140文字で問題を伝える都合上、表記法についていちいち断りません。以下を参照してください。

作用素

単に作用素と言った場合には、断りが無い限り線形作用素を意味するものとする。

X'

ノルム空間Xの双対空間。X^*と書くことが多いが、実はX'と表記する界隈もあるのでこちらを採用。画面だと*より見やすいと個人的には思う。

D(A),D(Ω)

Aが線形作用素のとき、Aの定義域(Domain)を表す。 ΩがR^Nの開集合のとき、コンパクト台を持つC^∞級関数の空間を表す。

N(A)

作用素Aの零空間(Null set)、または核(Kernel)を表す。すなわち、N(A)={u∈D(A) ; Au=0}である。

R(A)

作用素Aの値域(Range)を表す。すなわち、R(A)={Au ; u∈D(A)}である。

d(u,M)

Xをノルム空間とし、x∈X、M⊂Xとするとき、d(x,M)で点xと部分集合Mとの距離を表す。すなわち、d(x,M)=inf{||x-y|| ; y∈M}である。

非自明な部分空間

Xを線形空間、V⊂Xを部分空間とするとき、Vが非自明であるとは、V≠0かつV≠Xであることをいう。

代数的基底

線形空間Xとその一次独立な元からなる部分集合B⊂Xに対し、BがXの代数的基底であるとは、任意のx∈XがBの有限個の元の線形和で書き表せることをいう。Hilbert空間の基底と言った場合には無限和も許すことに注意。

どうでもいいこと

• Banach空間はX,Y,Z、Hilbert空間はH、Banach空間の元はu,v、双対空間の元はf,gで表すことが多い。
• 人名はアルファベット、それ以外の外来語はカタカナで表記している。
• 問題の小問は(1),(2),...で、条件は(i),(ii),...で表している。
• 選択公理ちゃんマジ公理。